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位运算: 对二进制数据进行的运算（+、-、*、/）

符号 描述 运算规则 用途
& 与 两个位都为1时，结果才为1 清零(&0);
取一个数的指定位(&0010);
判断奇偶(最未位0或1)
| 或 两个位都为0时，结果才为0 设置某些位为1
^ 异或 两个位相同为0，相异为1 翻转指定位(^1111);
与0相异或值不变;
交换两个数
~ 取反 0变1，1变0 使一个数的最低位为零(a & ~1)
<< 左移 各二进位全部左移若干位，高位丢弃，低位补0
>> 右移 各二进位全部右移若干位，高位补0或符号位补齐

排列 $A_{n}^{r}=n(n-1)(n-2)…[n-(r-1)]=\frac{n!}{(n-r)!}$

  • $A_{n+1}^{m}=A_{n}^{m}+mA_{n}^{m-1}$

(n+1的1：球a ) $A_{n}^{m}$不含a , $A_{n}^{m-1}$含a , 系数m为排列顺序种类

组合 $C_{n}^{r}=\frac{A_{n}^{r}}{r!}=\frac{n!}{r!(n-r)!}$ （将排序取消：$\frac{1}{r!}$）

  • $C_{n+1}^{m}=C_{n}^{m}+C_{n}^{m-1}$

(n+1的1：球a ) $C_{n}^{m}$不含a , $C_{n}^{m-1}$含a , 不考虑顺序，故系数为1

  • $C_{n}^{m}=C_{n}^{n-m}$
  • $C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+……+C_{n}^{n}+={2}^{n}$

从三维如何理解四维？ → 简化:从二维如何理解三维？ → 简化:从一维如何理解二维？

方 → 避免正负误差相抵消；放大较大误差的权重

均方根误差（标准差）先平方，再平均，后开根

$$ \sigma=\sqrt[]{\frac{\sum\limits^{i=n}_{i=1}{(x-\bar{x} )}^{2}}{n}} $$

均方误差（方差）

$$ \sigma^2=\frac{\sum\limits^{i=n}_{i=1}{(x-\bar{x} )}^{2}}{n} $$

类似于 Python 或 Ruby，shell 是一个编程环境，所以它具备变量、条件、循环和函数（下一课进行讲解）。当你在 shell 中执行命令时，您实际上是在执行一段 shell 可以解释执行的简短代码。如果你要求 shell 执行某个指令，但是该指令并不是 shell 所了解的编程关键字，那么它会去咨询 环境变量 $PATH，它会列出当 shell 接到某条指令时，进行程序搜索的路径：

shell 基于空格分割命令并进行解析，然后执行第一个单词代表的程序，并将后续的单词作为程序可以访问的参数。如果您希望传递的参数中包含空格（例如一个名为 My Photos 的文件夹），您要么用使用单引号，双引号将其包裹起来，要么使用转义符号 \ 进行处理（My\ Photos）。

shell 中的路径是一组被分割的目录，在 Linux 和 macOS 上使用 / 分割，而在 Windows 上是 \。路径 / 代表的是系统的根目录，所有的文件夹都包括在这个路径之下，在 Windows 上每个盘都有一个根目录（例如： C:\）。

如果某个路径以 / 开头，那么它是一个 绝对路径，其他的都是 相对路径 。相对路径是指相对于当前工作目录的路径，当前工作目录可以使用 pwd 命令来获取。此外，切换目录需要使用 cd 命令。在路径中，. 表示的是当前目录，而 .. 表示上级目录：

除非我们利用第一个参数指定目录，否则 ls 会打印当前目录下的文件。大多数的命令接受标记和选项（带有值的标记），它们以 - 开头，并可以改变程序的行为。通常，在执行程序时使用 -h 或 –help 标记可以打印帮助信息，以便了解有哪些可用的标记或选项。例如，ls –help 的输出如下：

在 shell 中，程序有两个主要的“流”：它们的输入流和输出流。 当程序尝试读取信息时，它们会从输入流中进行读取，当程序打印信息时，它们会将信息输出到输出流中。 通常，一个程序的输入输出流都是您的终端。也就是，您的键盘作为输入，显示器作为输出。 但是，我们也可以重定向这些流！123

分栏

## 第二栏内容
这是另一段落的内容。

`一些代码`
**加粗文字**

加法是同一维度的运算,只能在本维度打转转,物理探索的东西是要跨维度,一个香蕉加一个香蕉等于2个香蕉乘法是不同维度的计算,结果是也是新的维度,一个香蕉乘一个香蕉是什么东西?同维度的东西乘出来是什么,怎么解释他们的意义?小学的时候你可以抽象出2*10=20,把它当成加法的累积,这是丢掉了维度信息,把维度信息还原,乘法和加法就是没有卵关系的东西,最多数乘这种其中的数不带维度信息,但那个数也不是变量.2箱乘每箱10个香蕉等于20个香蕉,这里是箱子和每箱几个香蕉是两个不同的维度,结果香蕉是一个新的维度,相当于体积和密度产生质量.F=MA,你不用乘法,永远在M和A里打转,你要跳越到新的F维度就必须要M和A之间做乘法.要更本质一点就是:加法:可还原,同维度,线性乘法:涌现,跨维度,非线性从数学上看的话,线性代数的5元方程组很好解是吧,但我们都知道5次方程没有根式解,可5次方程求根本质也是求一个5元方程组,同样是算5元方程组,为什么一个可以解一个不可解,5次方程求根所列出的方程组变量之间会相乘,线性代数的5元方程组变量之间没有相乘,就这个区别而已,方程组里变量之间有没有过乘法.乘法在这里就开始牛逼了,如果你以前看不懂5次方程为什么没有根式解,各种文章上来就是群啊,域啊,一堆复杂的术语,看完还是一句为什么呢?那就可以从这里开始,为什么5元方程组里变量之间有个乘法就没有根式解了呢?动手解两下,感受从加法到乘法那种线性到非线性的转变,从一切皆可掌握到深藏于交织互动中的不可穷尽.再来结合群啊,域啊,用数学语言去描述这种感受.